RAPPRESENTAZIONE - CONVERSIONE DI BASE  
Rappresentazioni di riferimento
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 decimale
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 esadecimale
0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 ottale
0 1 10 11 100 101 110 111 100 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 binario


ESERCIZIO 1.1.1 - CONVERSIONE DA BASE 10 A BASE N

Convertire i seguenti numeri in base 10 nelle basi specificate.

1) 345 in base 2  
2) 345 in base 8  
3) 345 in base 16  
4) 989 in base 5  
5) 417 in base 7  
6) 615 in base 9  
7) 426 in base 2  
8) 1042 in base 11  
9) 6666 in base 16  
10) 4596 in base 4  
11) 687 in base 16  
12) 595 in base 5  
13) 111 in base 2  
14) 656 in base 5  
15) 811 in base 16  
16) 1101 in base 8  

Metodo: si effettuano divisioni successive del numero dato per la base richiesta N; i resti delle singole divisioni, presi alla rovescia, rappresentano le cifre del numero nella base  N.

Esempio: convertire 10910 in base 2, 5 e 16.

109 54 27 13 6 3 1 0 <= Quozienti
1 0 1 1 0 1 1   <=Resti

Quindi 10910= (1101101)2

109 21 4 0 <= Quozienti
4 1 4   <=Resti

Quindi 10910= (414)5

109 6 0 <= Quozienti
13=D 6   <=Resti

Quindi 10910= (6D)16

ESERCIZIO 1.1.2 - CONVERSIONE DA BASE N A BASE 10

Convertire i seguenti numeri dalle basi specificate alla base 10.

1) (1000101)2  
2) (477)8  
3) (40F)16  
4) (3074)5  
5) (5778)9  
6) (126)9  
7) (781)16  
8) (3B8)13  
9) (10010)8  
10) (2EA)16  
11) (369F1)15  
12) (5669)11  
13) (94598)10  
14) (889)12  
15) (1110)3  
16) (1357)8  

Attenzione: alcune conversioni sono impossibili! Motivare.

Metodo: Si prende la cifra più significativa (quella più a destra) e la si moltiplica per la base elevata alla potenza corrispondente alla posizione (la cui numerazione parte da zero). Si ripete l'operazione sulle cifre a sinistra fino ad arrivare alla cifra più significativa. La soluzione è la somma dei valori ottenuti.

Esempio: convertire (302)7 in base 10.
La cifra meno significativa è il coefficiente di 70, quella più significativa è il coefficiente di 72, per cui
(302)7= 3*72 + 0*71 + 2*70
= 3*49 + 0*7 + 2*1
= 147 + 0 + 2 = 149

ESERCIZIO 1.1.3 - CONVERSIONE BASE N => BASE M

Convertire i seguenti numeri dalle base N a quella M.

1) (10010101001010)2 in base 8  
2) (11110101101000)2 in base 16  
3) (13277)8 in base 2  
4) (B0E9)16 in base 2  
5) (214)5 in base 2  
6) (354)7 in base 6  
7) (821)9 in base 12  
8) (821)9 in base 8  
9) (821)9 in base 16  
10) (AC29B)16 in base 8  
11) (34772)8 in base 16  
12) (312)16 in base 4  
13) (1492)11 in base 15  
14) (C14)15 in base 16  
15) (C14)15 in base 8  
16) (558)9 in base 12  

Metodo: In generale conviene fare la conversione da base N a base 10, seguita dalla conversione da base 10 a base M. Nel caso particolare in cui si debba passare dalla base 2 alle basi 8 o 16 (o viceversa), il calcolo risulta semplificato poiché:

Esempio 1: Convertire (01001010100010110)2 in ottale. Partendo dalla cifra meno significativa si considerano
la cifre binarie rispettivamente a gruppi di 3:

01 001  010 100 010 110
1 1 2 4 2 6

Quindi: (01001010100010110)2 = (112426)8

Esempio 2: Convertire (A3D)16 in binario. Scriviamo le singole cifre esadecimali come numeri binari di 4 cifre:

(A)16 (3)16 (D)16
(1010)2 (1101)2 (0011)2

Quindi: (A3D)16 = (101000111101)2

ESERCIZIO 1.1.4 - CONVERSIONE NUMERI CON DECIMALI DALLA BASE 10 ALLA BASE N

Convertire i seguenti numeri in base 10 nelle basi 2, 8, 16

1) (16,625)10  
2) (0,03125)10  
3) (20,828125)10  
4) (30,99)10  
5) (11,125)10  
6) (11,11)10  
7) (1,234)10  
8) (1024,0009765625)10  

Metodo: si convertono separatamente parte intera e parte frazionaria. Per la parte intera si segue la stessa procedura di conversione già vista nel primo esercizio. Per la parte frazionaria procedo in questo modo:
A) moltiplico la parte non intera XF per la base N ottenendo un valore X
B) estraggo da X la parte intera XI e la metto da parte (XI è per forza minore della base)
C) Se la parte decimale XF ottenuta togliendo da X la parte intera XI (ovvero XF =X-XI) risulta superiore alla precisione  richiesta ritorno allo step A) altrimenti continuo con D)
D) La sequenza di digit XI ottenuta estraendo le parti intere dei prodotti X è la rappresentazione in base N della parte decimale del numero in notazione 10

Esempio 1: convertire in binario (6,25)10. Per la parte intera: (6)10 = (110)2 mentre la parte decimale:

0,25 0,5 0,0 Parte frazionaria
0,25x2 0,5x2    
0 1   Parte intera

quindi 6,2510 = 110,012

Esempio 2: convertire in binario (0,3)10 con la precisione di almeno 0,01 (1/100)

0,3 0,6 0,2 0,4 0,8 0,6 0,2   Parte frazionaria
0,3x2 0,6x2 0,2x2 0,4x2 0,8x2 0,6x2 0,2x2    
0 1 0 0 1 1 0   Parte intera
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7<0,01   Precisione

quindi 0,310 = 0,0100112 (l'errore è minore di 1/100 poiché 2-7=1/128)

ESERCIZIO 1.1.5 - CONVERSIONE NUMERI CON DECIMALI DALLA BASE N ALLA BASE 10

Convertire in base 10 i seguenti numeri con decimali rappresentati nella base indicata:

1) (0,1101001)2  
2) (11,10011)2  
3) (A,A)16  
4) (C1,A0)15  
5) (0,333)4  
6) (FF,1F)16  
7) (1011,0101)2  
8) (1,234)5  

Metodo: si convertono separatamente parte intera e parte frazionaria. Per la parte intera si segue la stessa procedura di conversione vista nel secondo esercizio. Per la parte decimale la rappresentazione in base 10 si ottiene sommando le potenze negative della base N i cui coefficienti sono i digit della rappresentazione di partenza. La cifra più a destra quindi diventa il coeff. di N-1, la seconda cifra di N-2 e così via. La soluzione è la somma dei valori ottenuti

Esempio 1: convertire in rappresentazione decimale il seguente valore in notazione binaria 0,011012

0,01101=0*2-1+1*2-2+1*2-3+0*2-4+1*2-5

=0*0,5+1*0,25+1*0,125+0*0,0625+1*0,003125

=0,25+0,125+0,003125 = 0,378125

Esempio 2: rappresentare il numero periodico 0,110= 0,1111...10 in base 9.

0,1111.... 0 Parte frazionaria
0,1111... * 9    
1   Parte intera
9-1    

quindi 0,11111...10 = 0,19 (si osservi che la periodicità può sparire utilizzando una notazione con una base differente. Infatti il numero periodico 0,1111... = 1/9 = 9-1 in base 10 non lo è in base 9).